CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES
A) ENTEROS: Es el conjunto de enteros que no tienen decimales, su notacion en conjunto es
$$\mathbb{Z}\left \{ . . , -2,-1,0,1,2, . . \right \}$$
B) RACIONALES: Se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente, de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común), su notacion en conjunto es $$\mathbb{Q}\left \{ \frac{a}{b}\left|a,b\in\mathbb{Z},b\ne 0 \Big \}$$
Estos numeros racionales a su vez se subdividen en Periodicos y Exactos, ejemplos:
Periodicos
$$\frac{1}{3}=0.3333. . $$
Exactos
$$\frac{1}{4}=0.25$$
C) IRRACIONALES : es un número que no puede ser expresado como una fracción.
Ejemplos: $$e$$,$$\pi$$, $$\sqrt{2}\$$,$$\sqrt{3}\$$,$$\sqrt{5}\$$. .
$$e=2.71828182...$$
$$\pi=3.141592...$$
$$\sqrt{2}=1.414213...\$$
PROPIEDADES BASICAS DE LOS NUMEROS REALES
Ejercicios: Utilizando las propiedades simplifique las siguientes expresiones:
Utilizando la propiedad del Dilema del Mosquetero (Distributiva), se obtiene que:
$$\ x(y+z+w) =\ xy+xz+xw$$
2.- $$(a+b)(c+d)$$
Utilizando la propiedad del Dilema del Mosquetero (Distributiva), se obtiene que:
$$(a+b)(c+d)=(a)(c+d)+(b)(c+d)$$
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
3.- $$(7x-3y)^2$$
Utilizando la propiedad de Conmutativa de la multíplicacion (Reacomodo) se obtiene que:
$$(7x-3y)^2=(7x-3y)(7x-3y)$$
Utilizando la propiedad del Dilema del Mosquetero (Distributiva), se obtiene que:
$$(7x-3y)^2=(7x-3y)(7x-3y)=(7x)(7x-3y)-(3y)(7x-3y)$$
Se Realiza la operacion
$$=49x^2-21xy-21yx+9y^2$$
Utilizando la propiedad de conmutattiva de la multuiplicacion para los coeficientes se obtiene que:
$$=49x^2-21xy-21xy+9y^2$$
Sumando terminos semejante se obtiene:
$$=49x^2-42xy+9y^2$$
Resultado de la expresion:
$$=(7x-3y)^2=(49x^2)-42xy+9y^2$$
4.- $$5(3x-y)+5(x+5y)-4(2x+y)$$
Utilizando la propiedad del Dilema del Mosquetero (Distributiva), se obtiene que:
$$=5(3x)-5(y)+5(x)+5(5y)-4(2x)-4(y)$$
$$=15x-5y+5x+25y-8x-4y$$
Utilizando la propiedad de Conmutativa de la suma (Reacomodo), se obtiene que:
$$=15x+5x-8x-5y+25y-4y$$
Se suman terminos semenjantes
$$=12x+16y$$
Resultado de la expresion:
$$5(3x-y)+5(x+5y)-4(2x+y)=12x+16y$$
SINTAXIS Y SEMANTICA
En matemáticas como en cualquier lenguaje hay dos elementos centrales que se deben tomar en cuenta para poder entender correctamente los conceptos y los procedimientos. El primero es la Sintaxis y el segundo la Semántica.
Explicado de una manera simple la sintaxis es la forma como se escribe y la semántica su significado. Por ejemplo, analicemos la palabra TUNA. La sintaxis es la secuencia de las cuatro letras en orden, pero su semántica puede variar. Por ejemplo en español es el fruto del nopal y en inglés es un pescado. Otro ejemplo. Consideremos TRES y 3. Aquí tenemos dos formas distintas de escribir el número. ¿Qué quiere decir esto?, que tenemos diferente sintaxis pero la misma semántica. En matemáticas es muy importante la sintaxis (la forma cómo se escribe) porque un cambio pequeño puede hacer que varíe la semántica. Por ejemplo: $$\sin x^2$$ comparado con $$\ (sin x)^2$$
En la primera expresión primero debemos elevar la variable x al cuadrado y después calcular la función seno. En cambio en la segunda expresión, primero se aplica la función seno y después el resultado se eleva al cuadrado. En otras palabras la segunda expresión es equivalente (tiene la misma semántica) que $$\ (sin x)^2$$
Hay que ser muy cuidadosos, sobretodo con los paréntesis, es muy común quitar paréntesis que no se necesitan, pero hay que estar seguros de que al cambiar la sintaxis quitando paréntesis la semántica sea la misma. Si en el ejemplo anterior, a la expresión $$\ (sin x)^2$$ le quitamos los paréntesis, podríamos dejar la expresión $$\sin x^2$$ que como ya mencionamos es otra cosa.
ARBOLES SINTACTICOS
¿Cómo aprender correctamente la sintaxis en matemáticas?
Analicemos la expresión: $$ab + c$$
Lo que sucede es que las expresiones algebraicas utilizan los operadores
A) binarios +, –,*, /; los cuales se llaman binarios porque representan operaciones entre dos elementos.
B) Unitarios $$ x^2$$, $$\sqrt{2}\$$, $$\pi$$ , $$\ln x$$
A) binarios +, –,*, /; los cuales se llaman binarios porque representan operaciones entre dos elementos.
B) Unitarios $$ x^2$$, $$\sqrt{2}\$$, $$\pi$$ , $$\ln x$$
Si queremos utilizar 3, debemos usar paréntesis.
Debemos tambien llevar un orden de las operaciones que se deben realizar para eso existe
Debemos tambien llevar un orden de las operaciones que se deben realizar para eso existe
Jerarquía de Operadores:
No es necesario utilizar paréntesis cuando el orden en que se deben efectuar las operaciones
cumple con la siguiente jerarquía:
1º. Operadores unitarios y funciones como: Potencia, Raíz, seno, coseno, . . . logarítmica,
exponencial, etc.
2º. Multiplicaciones y divisiones.
3º. Sumas y restas.
Nota: Los paréntesis alteran la jerarquía de los operadores, o sea que las operaciones
entre paréntesis se llevan a cabo primero.
Retomando el ejemplo $$ab+c$$
La expresion seria $$ab+c = (a * b)+c$$
Como 1er paso para resolver seria el producto de $$a*b $$
Y como 2do paso sumarle $$c$$ al producto de $$ab$$
Podríamos representar la expresion mediante árboles sintácticos:
$$(a*b)+c$$
$$ \diagup$$ $$+$$ $$ \diagdown$$
$$a*b$$ $$c$$
$$ \diagup$$ $$*$$ $$ \diagdown$$
$$a$$ $$b$$
Ejercicios: Represente la siguientes expresiones en arboles sintactivos
1. - $$6x^2-8x+1$$
$$6*x^2-8*x+1$$ Forma Lineal
Arbol Sintactico
$$6*x^2-8*x+1$$
$$\diagup$$ $$+$$ $$\diagdown$$
$$6*x^2-8*x$$ $$1$$
$$\diagup$$ $$-$$ $$\diagdown$$
$$6*x^2$$ $$8*x$$
$$ \diagup$$ $$*$$ $$ \diagdown$$ $$ \diagup$$ $$*$$ $$ \diagdown$$$$6*x^2$$ $$8*x$$
$$6$$ $$x^2$$ $$8$$ $$x$$
$$\vert$$
$$x$$
2. - $$7+(sinx^2)^3$$
$$7+(sinx^2)^3$$$ Forma Lineal
Arbol Sintactico
$$7+(sinx^2)^3$$
$$\diagup$$ $$+$$ $$\diagdown$$
$$7$$ $$(sinx^2)^3$$
$$7$$ $$(sinx^2)^3$$
$$\vert$$
$$sinx^2$$
$$\vert$$
$$sinx^2$$
$$\vert$$
$$x^2$$
$$\vert$$
$$\vert$$
$$x$$
1) $$4(x-3)=4x-12$$
2) $$x+2=10$$
3) $$x+5=x-7$$
Un valor de la variable essolucion de la ecuacion si al sustituir el valor por la variable se obtiene una proposicion verdadera.
Ejemplos:
1.- $$x=1$$ es solucion de $$4(x-3)=4x-12$$ pues $$4(1-3)=4(1)-12$$ =>$$-8=-8$$
Ejercicios:
1.- $$6z-7=2z+5$$
Solucion:
Para encontrar la solucion de una ecuacion, se deben de reacomodar las expresiones, dejando del lado izquierdo todos los valores que contengan la variable y del lado derecho los valores sin variable.
Para esto utilizamos el inverso aditivo de $$-7$$ para reacomodar los valores
$$6z-7+(+7)=2z+5+(+7)$$ De aqui utiliza la propiedad de cancelacion y se suman los terminos comunes, Se obtiene:
$$6z=2z+12$$ para reacomodar los valores que contengan la variable, utilizamos el inverso aditivo de $$2z$$
$$6z+(-2z)=2z+(-2z)+12$$ se utiliza nuevamente la propiedad de cancelacion y se suma los terminos comunes, se obtiene:
$$4z=12$$, ahora para encontrar la solucion de la varibles utilizamos el inverso multiplicativo de $$4z$$
$$\frac {1}{4}4z=$$ $$\frac {1}{4}12$$
Resultado: $$z=3$$
2.-$$2(3x-4)+5x=3-$$ $$\frac {1}{3 } x$$ Mosquetero
$$2(3x)+2(-4)+5x=3- $$ $$\frac {1}{3 } x$$ Inverso aditivo de $$ - $$ $$\frac {1}{3}$$
$$6x-8+5x+ $$ $$\frac {1}{3 } =3- $$ $$\frac {1}{3} x+ $$ $$\frac {1}{3} x$$ Cancelamos, sumando terminos comunes
$$11x+ $$ $$\frac {1}{3 } x-8=3$$ Hacemos la suma de fracciones
$$\frac {34}{3}x-8=3$$ Inverso aditivo de $$-8$$
$$\frac {34}{3}x-8+8=3+8$$ Cancelamos, sumando terminos comunes
$$\frac {34}{3}x=11$$ Para despejar la variable, utilizamos el inverso multiplicativo de $$\frac {34}{3}$$
$$($$ $$\frac {3}{34} $$ $$)$$ $$\frac {34}{3} x=11$$ $$($$ $$\frac {3}{34} $$ $$)$$ Realizamos operaciones
Resultado:
$$x= $$ $$\frac {33}{34}$$
3.- $$3x+2(5x+6)=3+4x$$ Mosquetero
$$3x+2(5x)+2(6)=3+4x$$ Realizamos operaciones
$$3x+10x+12=3+4x$$ Cancelamos, sumando terminos comunes
$$13x+12=3+4x$$ Inverso aditivo de $$4x$$
$$13x+12-4x=3+4x-4x$$ Reacomodo
$$13x-4x+12=3+4x-4x$$ Cancelamos, sumando terminos comunes
$$9x+12=3$$ Inverso aditivo de $$12$$
$$9x+12-12=3-12$$ Cancelamos, sumando terminos comunes
$$9x=-9$$ Inverso multiplicativo de $$9$$
$$\frac {1}{9} $$ $$9x=-9$$ $$\frac {1}{9}$$ Realizamos operaciones
Resultado:
$$x=-1$$
Efectuar operaciones y Simplificar
1.- $$(-2^2ab^4)^3(a^2b)^5$$
$$=(-2^6a^3b^12)(a^10 b^5)$$
$$=64a^13 b^17 $$
2.- $$(x^2)(x^3)-(-x^2)(x)$$
$$=x^5+x^3$$
3.-$$3x^2(x^3-2x^2+1)$$
$$=3x^5-6x^4+3x^2)$$
4.- $$(2ab^3)^2(-3^2a^2c)^3(-a^4bv^2)^5$$
$$=(4a^2b^6)(9a^2c)^3(-a^4bc^2)^5$$
$$=(4a^2b^6)(729a^6c^3)(-a^(20)b^5v^(10))$$
$$=-2916a^(28)b^(11)c^(13)$$
5.- $$-2a^2b(a^3+5a^2b^2-3b^4)$$
$$=-2a^5b-10a^4b^3+6a^2b^5$$
Expresión algebraica y polinomios
PolinomioEn secundaria y preparatoria se conoce un polinomio como una expresión algebraica con varios términos, si es monomio con un término, si es binomio con dos, trinomio con tres y polinomio no se con cuántos pero deben ser muchos. Sin embargo desde el punto de vista de matemáticas y su manejo formal un polinomio es una expresión algebraica donde aparecen únicamente sumas, diferencias o productos de números reales o variables. Podemos también dar una definición formal.
Definición. Un polinomio de una variable de grado n, es una expresión de la forma
Ecuaciones
Ejemplos:Una ecuacion es una igualdad con variable(s). La igualdad se representa matematicamente con el simbolo = en medio de dos expresiones.Aqui consideraremos exclusivamente ecuaciones con variable real y cuyas expresiones son formadas por operaciones algrebraicas.
1) $$4(x-3)=4x-12$$
2) $$x+2=10$$
3) $$x+5=x-7$$
Un valor de la variable essolucion de la ecuacion si al sustituir el valor por la variable se obtiene una proposicion verdadera.
Ejemplos:
1.- $$x=1$$ es solucion de $$4(x-3)=4x-12$$ pues $$4(1-3)=4(1)-12$$ =>$$-8=-8$$
Ejercicios:
1.- $$6z-7=2z+5$$
Solucion:
Para encontrar la solucion de una ecuacion, se deben de reacomodar las expresiones, dejando del lado izquierdo todos los valores que contengan la variable y del lado derecho los valores sin variable.
Para esto utilizamos el inverso aditivo de $$-7$$ para reacomodar los valores
$$6z-7+(+7)=2z+5+(+7)$$ De aqui utiliza la propiedad de cancelacion y se suman los terminos comunes, Se obtiene:
$$6z=2z+12$$ para reacomodar los valores que contengan la variable, utilizamos el inverso aditivo de $$2z$$
$$6z+(-2z)=2z+(-2z)+12$$ se utiliza nuevamente la propiedad de cancelacion y se suma los terminos comunes, se obtiene:
$$4z=12$$, ahora para encontrar la solucion de la varibles utilizamos el inverso multiplicativo de $$4z$$
$$\frac {1}{4}4z=$$ $$\frac {1}{4}12$$
Resultado: $$z=3$$
2.-$$2(3x-4)+5x=3-$$ $$\frac {1}{3 } x$$ Mosquetero
$$2(3x)+2(-4)+5x=3- $$ $$\frac {1}{3 } x$$ Inverso aditivo de $$ - $$ $$\frac {1}{3}$$
$$6x-8+5x+ $$ $$\frac {1}{3 } =3- $$ $$\frac {1}{3} x+ $$ $$\frac {1}{3} x$$ Cancelamos, sumando terminos comunes
$$11x+ $$ $$\frac {1}{3 } x-8=3$$ Hacemos la suma de fracciones
$$\frac {34}{3}x-8=3$$ Inverso aditivo de $$-8$$
$$\frac {34}{3}x-8+8=3+8$$ Cancelamos, sumando terminos comunes
$$\frac {34}{3}x=11$$ Para despejar la variable, utilizamos el inverso multiplicativo de $$\frac {34}{3}$$
$$($$ $$\frac {3}{34} $$ $$)$$ $$\frac {34}{3} x=11$$ $$($$ $$\frac {3}{34} $$ $$)$$ Realizamos operaciones
Resultado:
$$x= $$ $$\frac {33}{34}$$
3.- $$3x+2(5x+6)=3+4x$$ Mosquetero
$$3x+2(5x)+2(6)=3+4x$$ Realizamos operaciones
$$3x+10x+12=3+4x$$ Cancelamos, sumando terminos comunes
$$13x+12=3+4x$$ Inverso aditivo de $$4x$$
$$13x+12-4x=3+4x-4x$$ Reacomodo
$$13x-4x+12=3+4x-4x$$ Cancelamos, sumando terminos comunes
$$9x+12=3$$ Inverso aditivo de $$12$$
$$9x+12-12=3-12$$ Cancelamos, sumando terminos comunes
$$9x=-9$$ Inverso multiplicativo de $$9$$
$$\frac {1}{9} $$ $$9x=-9$$ $$\frac {1}{9}$$ Realizamos operaciones
Resultado:
$$x=-1$$
Potencias
Ejercicios:Efectuar operaciones y Simplificar
1.- $$(-2^2ab^4)^3(a^2b)^5$$
$$=(-2^6a^3b^12)(a^10 b^5)$$
$$=64a^13 b^17 $$
2.- $$(x^2)(x^3)-(-x^2)(x)$$
$$=x^5+x^3$$
3.-$$3x^2(x^3-2x^2+1)$$
$$=3x^5-6x^4+3x^2)$$
4.- $$(2ab^3)^2(-3^2a^2c)^3(-a^4bv^2)^5$$
$$=(4a^2b^6)(9a^2c)^3(-a^4bc^2)^5$$
$$=(4a^2b^6)(729a^6c^3)(-a^(20)b^5v^(10))$$
$$=-2916a^(28)b^(11)c^(13)$$
5.- $$-2a^2b(a^3+5a^2b^2-3b^4)$$
$$=-2a^5b-10a^4b^3+6a^2b^5$$
FUNCIONES
Es un conjunto de pares ordenados tales que no hay dos pares con el mismo primer elemento. También se puede expresar como la relación matemática entre el conjunto A y el conjunto B.
Notacion:
Dominio de una Función
El conjunto de los primeros elementos en los pares ordenados en una función f se llama Dominio y se denota: DOM( f ) y el conjunto formado por los segundos elementos se llama
Rango y su notacion es: RAN (f).
Si consideramos la función como una relación, a cada elemento del dominio le corresponde un elemento único del rango, sin embargo para un elemento del rango podría haber varios elementos del dominio. Si a un elemento del dominio le llamamos x entonces el correspondiente elemento del rango se denota por f(x).
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